这次，周明带着笔记本电脑来图书馆，就是要将“拉普拉斯特征函数的节点集”另一部分也弄出来发表。

没错，这次周明依旧是准备写论文，而且还是数学论文，这算是他的第三篇数学论文了。

Nodal sets of Laplace eigenfunctions: polynomial upper estimates of the Hausdorff measure.

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这是标题，中文含义是“拉普拉斯特征函数的节点集：豪斯多夫测度的多项式上限估计”。

“Abstract. Let M be a pact C^∞-smooth Riemannian manifold of dimension n， n ≥ 3， and let φλ:?M φλ+λφλ= 0 denote the Laplace eigenfunction on M corresponding to the eigenvalue λ. We show that……

周明一到图书馆，就打开电脑，写好标题后，就开始写摘要。

这次的论文，证明了Hausdorff测度对紧凑光滑流形定义的拉普拉斯特征函数的零点集的估计。

这篇论文和上一篇论文，能够推动拉普拉斯的谱以及节点集上的使用。

谱图理论是图论和组合数学的一个重要领域，它的主要研究有邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵三大矩阵。

我们又称矩阵特征值的集合为图的谱，相应谱的研究就是：邻接谱，拉普拉斯谱，无符号拉普拉斯谱。

周明投稿《数学年鉴》的两篇数学论文都与拉普拉斯谱有关，他之所以选择这两篇论文投稿，其中一个主要原因就是拉普拉斯矩阵是谱图理论中的核心与基本概念，在机器学习与深度学习中有重要的应用。

而机器学习和深度学习，则是人工智能中至关重要的。

包括但不限于流形学习数据降维算法中的拉普拉斯特征映射、局部保持投影，无监督学习中的谱聚类算法，半监督学习中基于图的算法，以及图神经网络等。

还有在图像处理、计算机图形学等诸多问题。

理解拉普拉斯矩阵的定义与性质是掌握这些算法的基础，周明对这一方面的研究，也有利于他以后研究人工智能。

可以说，数学是绝大部分理工学科的基础，就是生物的某些专业，对数学的要求也是比较高的。